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2014
04-01

动态规划(10)-01背包问题

在M件物品取出若干件放在空间为W的背包里,每件物品的体积为W1,W2……Wn,与之相对应的价值为P1,P2……Pn。求出获得最大价值的方案。

注意:在本题中,所有的体积值均为整数。01的意思是,每个物品都是一个整体,要么整个都要,要么都不要。

1)最优子结构

考虑所有物品的子集合,考虑第n个物品都有两种情况: 1. 包括在最优方案中  2. 不在最优方案中

因此,能获得的最大价值,即为以下两个值中较大的那个

1) 在剩下 n-1 个物品中(剩余 W 重量可用)的情况能得到的最大价值 (即排除了 第n个物品)

2)  第n个物品的价值 加上 剩下   剩下的 n-1 个物品(剩余W- wn的重量)能得到的最大价值。(即包含了第n个物品)

如果第n个物品的重量,超过了当前的剩余重量W,那么只能选情况1), 排除第n个物品。

2) 重叠子问题

下面是一个递归的实现,按照上面的最优子结构。

/* 朴素的递归实现  0-1 背包 */
#include<stdio.h>

int max(int a, int b) { return (a > b)? a : b; }

// 返回  前n个物品在容量为W时,能得到的最大价值
int knapSack(int W, int wt[], int val[], int n)
{
   // 没有物品了
   if (n == 0 || W == 0)
       return 0;

   // 如果当前第n个物品超重了,就排除在外
   if (wt[n-1] > W)
       return knapSack(W, wt, val, n-1);

   //返回两种情况下最大的那个 (1) 包括第n个物品 (2) 不包括第n个物品
   else return max( val[n-1] + knapSack(W-wt[n-1], wt, val, n-1),
                    knapSack(W, wt, val, n-1)
                  );
}

// 测试
int main()
{
    int val[] = {60, 100, 120};
    int wt[] = {10, 20, 30};
    int  W = 50;
    int n = sizeof(val)/sizeof(val[0]);
    printf("%d", knapSack(W, wt, val, n));
    return 0;
}

这种方法其实就是搜索了所有的情况,但是有很多重复的计算。时间复杂度是指数级的 O(2^n)。

在下面的递归树中 K() 代表 knapSack().  
输入数据如下:
wt[] = {1, 1, 1}, W = 2, val[] = {10, 20, 30}

                       K(3, 2)         ---------> K(n, W)
                   /            \ 
                 /                \               
            K(2,2)                  K(2,1)
          /       \                  /    \ 
        /           \              /        \
       K(1,2)      K(1,1)        K(1,1)     K(1,0)
       /  \         /   \          /   \
     /      \     /       \      /       \
K(0,2)  K(0,1)  K(0,1)  K(0,0)  K(0,1)   K(0,0)

可见相同的子问题被计算多次。01背包满足动态规划算法的两个基本属性(重叠子问题最优子结构)。可以通过自下而上的打表,存储中间结果,来避免重复计算。动态规划解法如下:

#include<stdio.h>
int max(int a, int b) { return (a > b)? a : b; }

int knapSack(int W, int wt[], int val[], int n)
{
   int i, w;
   int dp[n+1][W+1];

   for (i = 0; i <= n; i++)
   {
       for (w = 0; w <= W; w++)
       {
           if (i==0 || w==0)
               dp[i][w] = 0;
           else if (wt[i-1] <= w)
                 dp[i][w] = max(val[i-1] + dp[i-1][w-wt[i-1]],  dp[i-1][w]);
           else
                 dp[i][w] = dp[i-1][w];
       }
   }
   return dp[n][W];
}

int main()
{
    int val[] = {60, 100, 120};
    int wt[] = {10, 20, 30};
    int  W = 50;
    int n = sizeof(val)/sizeof(val[0]);
    printf("%d", knapSack(W, wt, val, n));
    return 0;
}

空间复杂度和时间复杂度都为 O(Wn).  由于打表的过程中,计算的当前行只依赖上一行,空间复杂度可以优化为O(W);

参考:http://www.geeksforgeeks.org/dynamic-programming-set-10-0-1-knapsack-problem/


  1. 有一点问题。。后面动态规划的程序中
    int dp[n+1][W+1];
    会报错 提示表达式必须含有常量值。该怎么修改呢。。