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2013
12-04

HDU 1290 献给杭电五十周年校庆的礼物-动态规划-[解题报告] C++

献给杭电五十周年校庆的礼物

问题描述 :

或许你曾经牢骚满腹
或许你依然心怀忧伤
或许你近在咫尺
或许你我天各一方

对于每一个学子
母校
永远航行在
生命的海洋

今年是我们杭电建校五十周年,这是一个值得祝福的日子。我们该送给母校一个怎样的礼物呢?对于目前的大家来说,最好的礼物当然是省赛中的好成绩,我不能参赛,就送给学校一个DOOM III球形大蛋糕吧,这可是名牌,估计要花掉我半年的银子呢。

想象着正式校庆那一天,校长亲自操刀,把这个大蛋糕分给各地赶来祝贺的校友们,大家一定很高兴,呵呵,流口水了吧…

等一等,吃蛋糕之前先考大家一个问题:如果校长大人在蛋糕上切了N刀(校长刀法极好,每一刀都是一个绝对的平面),最多可以把这个球形蛋糕切成几块呢?

做不出这个题目,没有蛋糕吃的!
为-了-母-校-,为-了-蛋-糕-(不是为了DGMM,枫之羽最会浮想联翩…),加-油-!

输入:

输入数据包含多个测试实例,每个实例占一行,每行包含一个整数n(1<=n<=1000),表示切的刀数。

输出:

对于每组输入数据,请输出对应的蛋糕块数,每个测试实例输出一行。

样例输入:

1
2
3

样例输出:

2
4
8

点击打开链接

1) n条直线最多分平面问题

       题目大致如:n条直线,最多可以把平面分为多少个区域。

       析:可能你以前就见过这题目,这充其量是一道初中的思考题。但一个类型的题目还是从简单的入手,才容易发现规律。当有n-1条直线时,平面最多被分成了f(n-1)个区域。则第n条直线要是切成的区域数最多,就必须与每条直线相交且不能有同一交点。 这样就会得到n-1个交点。这些交点将第n条直线分为2条射线和n-2条线断。而每条射线和线断将以有的区域一分为二。这样就多出了2+(n-2)个区域。

          故:f(n)=f(n-1)+n

                       =f(n-2)+(n-1)+n

                       ……

                       =f(1)+1+2+……+n

                       =n(n+1)/2+1


         (2) 折线分平面(hdu2050)

        根据直线分平面可知,由交点决定了射线和线段的条数,进而决定了新增的区域数。当n-1条折线时,区域数为f(n-1)。为了使增加的区域最多,则折线的两边的线段要和n-1条折线的边,即2*(n-1)条线段相交。那么新增的线段数为4*(n-1),射线数为2。但要注意的是,折线本身相邻的两线段只能增加一个区域。

       

        故:f(n)=f(n-1)+4(n-1)+2-1

                       =f(n-1)+4(n-1)+1

                      =f(n-2)+4(n-2)+4(n-1)+2

                      ……

                      =f(1)+4+4*2+……+4(n-1)+(n-1)   

                      =2n^2-n+1

       (3) 封闭曲线分平面问题

       题目大致如设有n条封闭曲线画在平面上,而任何两条封闭曲线恰好相交于两点,且任何三条封闭曲线不相交于同一点,问这些封闭曲线把平面分割成的区域个数。

        析:当n-1个圆时,区域数为f(n-1).那么第n个圆就必须与前n-1个圆相交,则第n个圆被分为2(n-1)段线段,增加了2(n-1)个区域。

  

              故: f(n)=f(n-1)+2(n-1)     

                              =f(1)+2+4+……+2(n-1)

                              =n^2-n+2

           (4)平面分割空间问题(hdu1290)

           由二维的分割问题可知,平面分割与线之间的交点有关,即交点决定射线和线段的条数,从而决定新增的区域数。试想在三维中则是否与平面的交线有关呢?当有n-1个平面时,分割的空间数为f(n-1)。要有最多的空间数,则第n个平面需与前n-1个平面相交,且不能有共同的交线。即最多有n-1 条交线。而这n-1条交线把第n个平面最多分割成g(n-1)个区域。(g(n)为(1)中的直线分平面的个数 )此平面将原有的空间一分为二,则最多增加g(n-1)个空间。

         

         故:f=f(n-1)+g(n-1)     ps:g(n)=n(n+1)/2+1

                    =f(n-2)+g(n-2)+g(n-1)

                    ……

                   =f(1)+g(1)+g(2)+……+g(n-1)

                  =2+(1*2+2*3+3*4+……+(n-1)n)/2+(n-1)

                  =(1+2^2+3^2+4^2+……+n^2-1-2-3-……-n )/2+n+1

                 =(n^3+5n)/6+1

#include"stdio.h"
__int64 a[1001];//线分割平面
__int64 b[1001];//面分割空间
int main()
{
	int i;
	int n;
	a[1]=2;
	b[1]=2;
	for(i=2;i<=1000;i++)
		a[i]=a[i-1]+i;
	for(i=2;i<=1000;i++)
		b[i]=b[i-1]+a[i-1];
	while(scanf("%d",&n)!=EOF)
		printf("%I64d\n",b[n]);
	return 0;
}


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