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2013
12-26

hdu 2013 蟠桃记-递推-[解题报告]C++

蟠桃记

问题描述 :

喜欢西游记的同学肯定都知道悟空偷吃蟠桃的故事,你们一定都觉得这猴子太闹腾了,其实你们是有所不知:悟空是在研究一个数学问题!
什么问题?他研究的问题是蟠桃一共有多少个!
不过,到最后,他还是没能解决这个难题,呵呵^-^
当时的情况是这样的:
第一天悟空吃掉桃子总数一半多一个,第二天又将剩下的桃子吃掉一半多一个,以后每天吃掉前一天剩下的一半多一个,到第n天准备吃的时候只剩下一个桃子。聪明的你,请帮悟空算一下,他第一天开始吃的时候桃子一共有多少个呢?

输入:

输入数据有多组,每组占一行,包含一个正整数n(1<n<30),表示只剩下一个桃子的时候是在第n天发生的。

输出:

输入数据有多组,每组占一行,包含一个正整数n(1<n<30),表示只剩下一个桃子的时候是在第n天发生的。

样例输入:

2
4

样例输出:

4
22

题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2013


迭代的方法很简单,直接按题目意思来就可以了。

<span style="font-size:18px;">for (s = n = 1; n &amp;lt; 30; n++)s = (s + 1) * 2;</span>

<span style="font-size:18px;"><br /></span>

<span style="font-size:18px;"><br /></span>

计算机的鼻祖本来就是数学家,自然优化程序的最终方法还是要回归到数学上。
本题很容易得到它的递推方程:

f(1) = 1;f(n) = [f(n-1) + 1] × 2;

于是我们得到:

f(n) + 2 = 2 × [f(n-1) + 2]
f(1) + 2 = 3

=>

f(n) + 2 = 3 × 2n-1

=>

f(n) = 3 × 2n-1 - 2

对于这种推断题还有另外一种递推方法,虽然对于本题来说很麻烦。但有时候它是无可替代的。

f(1) = 1;
f(n) = 2f(n-1) + 2 = f(n-1) + 2f(n-2) + 4;

=>

f(n) + f(n-1) + 4 = 2 × [f(n-1) + f(n+2) + 4];

设 g(n) = f(n) + f(n-1) + 4;

则 g(n) = 2 × g(n-1);
   g(2) = f(2) + f(1) + 4 = 9;

∴g(n) = 9 × 2n-2  (n > 1)

∴f(n)   + f(n-1) = 9 × 2n-2 - 4	①
  f(n-1) + f(n-2) = 9 × 2n-3 - 4	②
  ┋
  f(3)   + f(2)   = 9 × 2 - 4
  f(2)   + f(1)   = 9 - 4

把①式减去②式得
  f(n)   = 9 × 2n-3 + f(n-2)
  f(n-2) = 9 × 2n-5 + f(n-4)
  ┋

这时候,我们需要分类讨论了:

  1. n为奇数

      f(n)   = 9 × 2n-3 + f(n-2)
      f(n-2) = 9 × 2n-5 + f(n-4)
      ┋
      f(5)   = 9 × 22 + f(3)
      f(3)   = 9 + f(1)
      f(1)   = 1
    
    从下往上迭代,得:
      f(n) = 9 × (2n-3 + 2n-5 + ... + 22 + 1) + 1
    =>
      f(n) = 9 × (1 - 4(n-1)/2) ÷ (1 - 4) + 1
    =>
      f(n) = 3 × 2n - 1 - 2
    
  2. n为偶数

      f(n)   = 9 × 2n-3 + f(n-2)
      f(n-2) = 9 × 2n-5 + f(n-4)
      ┋
      f(4)   = 9 × 21 + f(2)
      f(2)   = 4
    
    从下往上迭代,得:
      f(n) = 9 × (2n-3 + 2n-5 + ... + 21) + 4
    =>
      f(n) = 9 × 2 × (1 - 4(n-2)/2) ÷ (1 - 4) + 4
    =>
      f(n) = 3 × 2n - 1 - 2
    

世上的事往往如此,巧合的事情经常发生。不得不感叹大自然的美妙~
现在我们就得到了这道题目的公式了: f(n) = 3 × 2n – 1 – 2

#include <math.h>
#include <stdio.h>

int main(void)
{
    int n;

    while (scanf("%d", &n) != EOF)
        printf("%.0f\n", 3 * pow(2, n - 1) - 2);

    return 0;
}

解题转自:http://blog.csdn.net/basementman/article/details/16920389


  1. 第二种想法,我想来好久,为啥需要一个newhead,发现是把最后一个节点一直返回到嘴上面这层函数。厉害,这道题之前没样子想过。