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2013
12-26

hdu 2048 神、上帝以及老天爷-概率-[解题报告]C++

神、上帝以及老天爷

问题描述 :

HDU 2006’10 ACM contest的颁奖晚会隆重开始了!
为了活跃气氛,组织者举行了一个别开生面、奖品丰厚的抽奖活动,这个活动的具体要求是这样的:

首先,所有参加晚会的人员都将一张写有自己名字的字条放入抽奖箱中;
然后,待所有字条加入完毕,每人从箱中取一个字条;
最后,如果取得的字条上写的就是自己的名字,那么“恭喜你,中奖了!”

大家可以想象一下当时的气氛之热烈,毕竟中奖者的奖品是大家梦寐以求的Twins签名照呀!不过,正如所有试图设计的喜剧往往以悲剧结尾,这次抽奖活动最后竟然没有一个人中奖!

我的神、上帝以及老天爷呀,怎么会这样呢?

不过,先不要激动,现在问题来了,你能计算一下发生这种情况的概率吗?

不会算?难道你也想以悲剧结尾?!

输入:

输入数据的第一行是一个整数C,表示测试实例的个数,然后是C 行数据,每行包含一个整数n(1<n<=20),表示参加抽奖的人数。

输出:

输入数据的第一行是一个整数C,表示测试实例的个数,然后是C 行数据,每行包含一个整数n(1<n<=20),表示参加抽奖的人数。

样例输入:

1
2

样例输出:

50.00%

神、上帝以及老天爷

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    

Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others)

三种思路:

1. N张字条的所有可能排列自然是N!(分母)。
现在的问题就是求N张字条的错排数f(N)(分子)。
首先我们考虑,如果前面N-1个人拿的都不是自己的票,即前N-1个人满足错排,现在又来了一个人,他手里拿的是自己的票。只要他把自己的票与其他N-1个人中的任意一个交换,就可以满足N个人的错排。这时有(N-1)*f(N-1)种方法。

Besides,我们考虑,如果前N-1个人不满足错排,而第N个人把自己的票与其中一个人交换后恰好满足错排。
这种情况发生在原先N-1人中,N-2个人满足错排,有且仅有一个人拿的是自己的票,而第N个人恰好与他做了交换,这时候就满足了错排。
又因为前N-1个人中,每个人都有机会拿着自己的票。所以有N-1种交换的可能。故这时有(N-1)*f(N-2)种方法。

综上所述:f(N)=(N-1)*[f(N-1)+f(N-2)] 

2. 另一种推导思路是先通过容斥定理直接计算出错排数f(n)=n!(1/2!-1/3!+…..+((-1)^n)/n!)

所以f(n)/n!-f(n-1)/(n-1)!=((-1)^n)/n!

两边同时乘上n!有f(n)-n*f(n-1)=(-1)^n

所以f(n-1)-(n-1)*f(n-2)=(-1)^(n-1)=(-1)*[f(n)-n*f(n-1)]

化简得f(n)=(n-1)*[f(n-1)+f(n-2)] 

3. 通过错位排列数的简化公式D_n= \left\lfloor  \frac{n!}{e}+0.5  \right\rfloor, 来计算(参考维基百科


完整代码:

/*0ms,224KB*/

#include<cstdio>
#include<cmath>
const double e = exp(1.0);

double p[21];

int main()
{
	double temp = 1.0;
	int t, n, i;
	for (i = 2; i <= 20; ++i)
	{
		temp *= i;
		p[i] = round(temp / e) / temp;
	}
	scanf("%d", &t);
	while (t--)
	{
		scanf("%d", &n);
		printf("%.2f%%\n", p[n] * 100.0);
	}
	return 0;
}

解题转自:http://blog.csdn.net/synapse7/article/details/14642937


  1. 问题3是不是应该为1/4 .因为截取的三段,无论是否能组成三角形, x, y-x ,1-y,都应大于0,所以 x<y,基础应该是一个大三角形。小三角是大三角的 1/4.