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2014
03-23

常见的概率相关面试题(1)

在笔记题中概率相关的数学题,也有部分编程题,出现的还是挺多的。概率在生活中的应用较多,同时也可以综合考查面试者的思维能力、应变能力、数学能力。在这里整理了一些概率相关的笔试题和大家分享,此文不涉及编程题,都是一些和生活相关且很有趣的概率题。所有的分析都和背景颜色设置一样了,大家先思考,然后选中就可以看到分析了。

题目1

假设你参加了一个游戏节目,现在要从三个密封的箱子中选择一个。其中两个箱子是空的,另一个箱子里面有大奖(你偶像的签名^^)。你并不知道奖在哪一个箱子里,但主持人知道。游戏节目的主持人先要你选择一个箱子,接着他把你没有选的空箱子打开,以证明它是空的。最后主持人给你换箱子的机会,你可以把你所选择的箱子换成另一个没有打开的箱子。此时你该不该换箱子?

分析:

要相信直觉。你当然应该换箱子!我们把三个箱子编号A,B,C,并假设你选的是A箱。显然奖品在A里的概率是1/3,在B或C里的概率是2/3。B和C可能有一个是空的,也可能两个都是空的。因此,当你选择了A箱后,主持人很可能会打开B箱或C箱,以显示里面是空的。在这种情况下,主持人的举动并不会影响奖品在A箱里面的机会。我们假设主持人打开了B箱,以告诉你它是空的。现在A箱有奖品的概率还是1/3,B箱里面有奖品的概率是0,因此C箱里面有奖品的概率是2/3。在这种情况下,你应该换到C箱,因为它使你赢的机会提高了1倍!

题目2

有一苹果,两个人抛硬币来决定谁吃这个苹果,先抛到正面者吃。问先抛者吃到苹果的概率是多少?

分析:

我首先想到的就是把 第一次抛到正面的概率 + 第二次抛到的概率 + …..+无穷多次,当然后面的概率几乎为0了。    结果就是  P = 1/2 + 1/8 + 1/32+ ……  最后的结果就是 P = 2/3 . 这个计算也不难,其实就是等比数列,比为1/4.  简单的无穷级数 (1/2) / (1-1/4) = 2/3.    1/(1-x)^2=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+… (-1<x<1)

还有一个别人的分析:给所有的抛硬币操作从1开始编号,显然先手者只可能在奇数(1,3,5,7…)次抛硬币得到苹果,而后手只可能在偶数次(2,4,6,8…)抛硬币得到苹果。设先手者得到苹果的概率为p,第1次抛硬币得到苹果的概率为1/2,在第3次(3,5,7…)以后得到苹果的概率为p/4(这是因为这种只有在第1次和第2次抛硬币都没有抛到正面(概率为1/4=1/2*1/2)的时候才有可能发生,而且此时先手者在此面临和开始相同的局面)。所以可以列出等式p=1/2+p/4,p=2/3。

题目3

条长度为l的线段,随机在其上选2个点,将线段分为3段,问这3个子段能组成一个三角形的概率是多少?

分析:

设随机选取的两个数为x,y,并令y>x,则把长度为1的线段截得的三段长度为x, y-x ,1-y,根据三角形两边和大于第三边以及两边之差小于第三边的定理,可以列出方程组
y>1-y; x<1-x; x+(1-y)>y-x;
即x<1/2; y>1/2; y>x+1/2;
画图可以算得概率为1/8;(线性规划的思想)

gg

题目4

世界上每十万人中就有一人是艾滋病患者。艾滋病的检测目前已经很准确,但并非万无一失。它的检测准确率是99%,假设你刚去做完艾滋病检验,得到的了检测报告,结果….是阳性!你会绝望或昏倒吗?或者说,你会担心到什么程度?

分析:

你大可不必那么担心,因为你几乎可以确定没有得艾滋病。什么?检测是阳性还几乎可以确定没有艾滋病?!是的,为了说明这一点,假设有100万人和你做了同样的检验。在这100万人中,得病的会有10个,没有得病的有999990个。当这些人接受检验时,9~10个人患有艾滋病的人会呈现阳性反应,另外999990个没有得病的人则会有1%出现错误的阳性反应,换算成人数大概是1万人。也就是说,大约10000个阳性诊断中,实际只有10个左右是真正患者。因此,绝大多数所呈阳性的反应都是误诊。当你得到阳性的检测结果时,真正得艾滋病的机会大概只有千分之一。(当然,如果你在检测之前做了很可能感染艾滋病的事,那就另当别论了)

题目5

有一对夫妇,先后生了两个孩子,其中一个孩子是女孩,问另一个孩子是男孩的概率是多大?

答案是2/3.两个孩子的性别有以下四种可能:(男男)(男女)(女男)(女女),其中一个是女孩,就排除了(男男),还剩三种情况。其中另一个是男孩的占了两种,2/3. 之所以答案不是1/2是因为女孩到底是第一个生的还是第二个生的是不确定的。

题目6

一个国家人们只想要男孩,每个家庭都会一直要孩子,只到他们得到一个男孩。如果生的是女孩,他们就会再生一个。如果生了男孩,就不再生了。那么,这个国家里男女比例如何?

分析:

一开始想当然的以为男多女少,毕竟都想要男孩。但是注意这句话“如果生了男孩,就不再生了”,一个家庭可能有多个女孩,只有一个男孩。再仔细分析,我们来计算期望值,只用计算一个家庭就行了。设一个家庭男孩个数的期望值为S1,女孩为S2. 

根据题目条件,男孩的个数期望值S1=1这个是不用计算了。主要计算S2

一个家庭的孩子数量可以为:1,2,3,4,5…..  对应的的男女分布为: “男”,”女男”,”女女男”,”女女女男”,”女女女女男”…  

对应的概率分布为 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 。其中女孩的个数分别为 0,1,2,3,4……

因此 S2=0*1/2 + 1*1/4 + 2*1/8 + 3*1/16 + 4*1/32 + ………

可以按照题目2用级数求,也可以用错位相减法:S2=1/4+2/8+3/16+4/32+…  两边乘以2,得: 2*S2=1/2+2/4+3/8+4/16+5/32+..

两个式子相减得 S2=1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+…=1. 所以期望值都为1,男女比例是一样的。

ACM之家原创,链接:http://www.acmerblog.com/interviews-about-probability-5359.html ,欢迎转载和评论


  1. 问题3是不是应该为1/4 .因为截取的三段,无论是否能组成三角形, x, y-x ,1-y,都应大于0,所以 x<y,基础应该是一个大三角形。小三角是大三角的 1/4.

    • 你的理解应该是:即使主持人拿走一个箱子对结果没有影响。这样想,主持人拿走的箱子只是没有影响到你初始选择的那个箱子中有奖品的概率,但是改变了其余两个箱子的概率分布。由 1/3,1/3 变成了 0, 2/3

  2. 第一题是不是可以这样想,生了n孩子的家庭等价于n个家庭各生了一个1个孩子,这样最后男女的比例还是1:1