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2014
01-05

约瑟夫环的数学优化方法

       首先,约瑟夫环的数学优化方法为:

        为了讨论方便,先把问题稍微改变一下,并不影响原意:问题描述:n个人(编号0~(n-1)),从0开始报数,报到(m-1)的退出,剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

      我们知道第一个人(编号一定是(m-1)%n) 出列之后,剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环(以编号为k=m%n的人开始):      k k+1 k+2 … n-2, n-1, 0, 1, 2, … k-2   并且从k开始报0。现在我们把他们的编号做一下转换:

      k –> 0   k+1 –> 1   k+2 –> 2

n-1 –> n-1-k     0–> n-k

        … …   

     k-3 –> n-3   k-2 –> n-2

     序列1: 1, 2, 3, 4, …, n-2, n-1, n

     序列2: 1, 2, 3, 4, … k-1, k+1, …, n-2, n-1, n

     序列3: k+1, k+2, k+3, …, n-2, n-1, n, 1, 2, 3,…, k-2, k-1   

     序列4:1, 2, 3, 4, …, 5, 6, 7, 8, …, n-2, n-1   

      变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题,假如我们知道这个子问题的解:例如x是最终的胜利者,那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗?!!变回去的公式很简单,相信大家都可以推出来:

    ∵ k=m%n;   

       ∴ x’ = x+k = x+ m%n ; 而 x+ m%n 可能大于n

       ∴x’= (x+ m%n)%n = (x+m)%n   得到 x‘=(x+m)%n

        如何知道(n-1)个人报数的问题的解?对,只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢?当然是先求(n-3)的情况 —- 这显然就是一个倒推问题!好了,思路出来了,下面写递推公式:

      令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号,最后的结果自然是f[n].

      递推公式:   f[1]=0;   f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)

       完整的实现代码如下:

/*
约瑟夫环递推公式:令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号,最后的结果自然是f[n]  
递推公式  f[1]=0;  f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)
*/
#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"
int main(void)
{
	int n, m,i, f[20]={0};
	scanf("%d %d",&n,&m);
    for(i=2;i<=n;i++)
	{
		f[i]=(f[i-1]+m)%i;
		printf("%d个人报数,报到%d的出列,最后的胜者下标为%d\n", i,m,f[i]);
	}
    printf("The winner is %d\n", f[n]+1);
	system("pause");
}

       优化后的代码为:

#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"
int main(void)
{
    int n, m,i, s=0;
	scanf("%d %d",&n,&m);
    for(i=2;i<=n;i++)
	{
		s=(s+m)%i;
	}
    printf("The winner is %d\n", s+1);
	system("pause");
}

 


  1. 第二个方法挺不错。NewHead代表新的头节点,通过递归找到最后一个节点之后,就把这个节点赋给NewHead,然后一直返回返回,中途这个值是没有变化的,一边返回一边把相应的指针方向颠倒,最后结束时返回新的头节点到主函数。