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2014
11-18

LeetCode-Gray Code[数组]

Gray Code

The gray code is a binary numeral system where two successive values differ in only one bit.

Given a non-negative integer n representing the total number of bits in the code, print the sequence of gray code. A gray code sequence must begin with 0.

For example, given n = 2, return [0,1,3,2]. Its gray code sequence is:

00 - 0
01 - 1
11 - 3
10 - 2

Note:
For a given n, a gray code sequence is not uniquely defined.

For example, [0,2,3,1] is also a valid gray code sequence according to the above definition.

For now, the judge is able to judge based on one instance of gray code sequence. Sorry about that.

标签: Backtracking
分析

格雷码(Gray Code)的定义请参考 {http://en.wikipedia.org/wiki/Gray_code}

\textbf{自然二进制码转换为格雷码:$g_0=b_0, g_i=b_i \oplus b_{i-1}$}

保留自然二进制码的最高位作为格雷码的最高位,格雷码次高位为二进制码的高位与次高位异或,其余各位与次高位的求法类似。例如,将自然二进制码1001,转换为格雷码的过程是:保留最高位;然后将第1位的1和第2位的0异或,得到1,作为格雷码的第2位;将第2位的0和第3位的0异或,得到0,作为格雷码的第3位;将第3位的0和第4位的1异或,得到1,作为格雷码的第4位,最终,格雷码为1101。

\textbf{格雷码转换为自然二进制码:$b_0=g_0, b_i=g_i \oplus b_{i-1}$}

保留格雷码的最高位作为自然二进制码的最高位,次高位为自然二进制高位与格雷码次高位异或,其余各位与次高位的求法类似。例如,将格雷码1000转换为自然二进制码的过程是:保留最高位1,作为自然二进制码的最高位;然后将自然二进制码的第1位1和格雷码的第2位0异或,得到1,作为自然二进制码的第2位;将自然二进制码的第2位1和格雷码的第3位0异或,得到1,作为自然二进制码的第3位;将自然二进制码的第3位1和格雷码的第4位0异或,得到1,作为自然二进制码的第4位,最终,自然二进制码为1111。

格雷码有\textbf{数学公式},整数$n$的格雷码是$n \oplus (n/2)$。

这题要求生成$n$比特的所有格雷码。

方法1,最简单的方法,利用数学公式,对从 $0\sim2^n-1$的所有整数,转化为格雷码。

方法2,$n$比特的格雷码,可以递归地从$n-1$比特的格雷码生成。如图\S \ref{fig:gray-code-construction}所示。

\begin{center}
\includegraphics[width=160pt]{gray-code-construction.png}\\
\figcaption{The first few steps of the reflect-and-prefix method.}\label{fig:gray-code-construction}
\end{center}

代码1

// LeetCode, Gray Code
// 数学公式,时间复杂度O(2^n),空间复杂度O(1)
class Solution {
public:
    vector<int> grayCode(int n) {
        vector<int> result;
        const size_t size = 1 << n;  // 2^n
        result.reserve(size);
        for (size_t i = 0; i < size; ++i)
            result.push_back(binary_to_gray(i));
        return result;
    }
private:
    static unsigned int binary_to_gray(unsigned int n) {
        return n ^ (n >> 1);
    }
};

代码2

// LeetCode, Gray Code
// reflect-and-prefix method
// 时间复杂度O(2^n),空间复杂度O(1)
class Solution {
public:
    vector<int> grayCode(int n) {
        vector<int> result;
        result.reserve(1<<n);
        result.push_back(0);
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            const int highest_bit = 1 << i;
            for (int j = result.size() - 1; j >= 0; j--) // 要反着遍历,才能对称
                result.push_back(highest_bit | result[j]);
        }
        return result;
    }
};

  1. 其实国内大部分公司对算法都不够重视。特别是中小型公司老板根本都不懂技术,也不懂什么是算法,从而也不要求程序员懂什么算法,做程序从来不考虑性能问题,只要页面能显示出来就是好程序,这是国内的现状,很无奈。