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2014
11-19

LeetCode-Maximum Subarray[动态规划]

Maximum Subarray

Find the contiguous subarray within an array (containing at least one number) which has the largest sum.

For example, given the array [−2,1,−3,4,−1,2,1,−5,4],
the contiguous subarray [4,−1,2,1] has the largest sum = 6.

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More practice:

If you have figured out the O(n) solution, try coding another solution using the divide and conquer approach, which is more subtle.

标签: Divide and Conquer Array Dynamic Programming
分析

最大连续子序列和,非常经典的题。

当我们从头到尾遍历这个数组的时候,对于数组里的一个整数,它有几种选择呢?它只有两种选择: 1、加入之前的SubArray;2. 自己另起一个SubArray。那什么时候会出现这两种情况呢?

如果之前SubArray的总体和大于0的话,我们认为其对后续结果是有贡献的。这种情况下我们选择加入之前的SubArray

如果之前SubArray的总体和为0或者小于0的话,我们认为其对后续结果是没有贡献,甚至是有害的(小于0时)。这种情况下我们选择以这个数字开始,另起一个SubArray。

设状态为{f[j]},表示以{S[j]}结尾的最大连续子序列和,则状态转移方程如下:
\begin{eqnarray}
f[j] &=& \max\left\{f[j-1]+S[j],S[j]\right\}, \text{ 其中 }1 \leq j \leq n \nonumber \\
target &=& \max\left\{f[j]\right\}, \text{ 其中 }1 \leq j \leq n \nonumber
\end{eqnarray}

解释如下:

\item 情况一,S[j]不独立,与前面的某些数组成一个连续子序列,则最大连续子序列和为$f[j-1]+S[j]$。
\item 情况二,S[j]独立划分成为一段,即连续子序列仅包含一个数S[j],则最大连续子序列和为$S[j]$。

其他思路:

\item 思路2:直接在i到j之间暴力枚举,复杂度是$O(n^3)$
\item 思路3:处理后枚举,连续子序列的和等于两个前缀和之差,复杂度$O(n^2)$。
\item 思路4:分治法,把序列分为两段,分别求最大连续子序列和,然后归并,复杂度$O(n\log n)$
\item 思路5:把思路2$O(n^2)$的代码稍作处理,得到$O(n)$的算法
\item 思路6:当成M=1的最大M子段和

代码1

// LeetCode, Maximum Subarray
// 时间复杂度O(n),空间复杂度O(1)
class Solution {
public:
    int maxSubArray(int A[], int n) {
        int result = INT_MIN, f = 0;
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            f = max(f + A[i], A[i]);
            result = max(result, f);
        }
        return result;
    }
};

代码2

// LeetCode, Maximum Subarray
// 时间复杂度O(n),空间复杂度O(n)
class Solution {
public:
    int maxSubArray(int A[], int n) {
        return mcss(A, n);
    }
private:
    // 思路5,求最大连续子序列和
    static int mcss(int A[], int n) {
        int i, result, cur_min;
        int *sum = new int[n + 1];  // 前n项和

        sum[0] = 0;
        result = INT_MIN;
        cur_min = sum[0];
        for (i = 1; i <= n; i++) {
            sum[i] = sum[i - 1] + A[i - 1];
        }
        for (i = 1; i <= n; i++) {
            result = max(result, sum[i] - cur_min);
            cur_min = min(cur_min, sum[i]);
        }
        delete[] sum;
        return result;
    }
};

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  1. 第二块代码if(it != mp.end())应改为if(it != mp.end() && (i+1)!=(it->second +1));因为第二种解法如果数组有重复元素 就不正确