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2014
11-18

LeetCode-Median of Two Sorted Arrays[数组]

Median of Two Sorted Arrays

There are two sorted arrays A and B of size m and n respectively. Find the median of the two sorted arrays. The overall run time complexity should be O(log (m+n)).

标签: Divide and Conquer Array Binary Search
分析

这是一道非常经典的题。这题更通用的形式是,给定两个已经排序好的数组,找到两者所有元素中第$k$大的元素。

$O(m+n)$的解法比较直观,直接merge两个数组,然后求第$k$大的元素。

不过我们仅仅需要第$k$大的元素,是不需要“排序”这么复杂的操作的。可以用一个计数器,记录当前已经找到第$m$大的元素了。同时我们使用两个指针{pA}和{pB},分别指向A和B数组的第一个元素,使用类似于merge sort的原理,如果数组A当前元素小,那么{pA++},同时{m++};如果数组B当前元素小,那么{pB++},同时{m++}。最终当$m$等于$k$的时候,就得到了我们的答案,$O(k)$时间,$O(1)$空间。但是,当$k$很接近$m+n$的时候,这个方法还是$O(m+n)$的。

有没有更好的方案呢?我们可以考虑从$k$入手。如果我们每次都能够删除一个一定在第$k$大元素之前的元素,那么我们需要进行$k$次。但是如果每次我们都删除一半呢?由于A和B都是有序的,我们应该充分利用这里面的信息,类似于二分查找,也是充分利用了“有序”。

假设A和B的元素个数都大于$k/2$,我们将A的第$k/2$个元素(即{A[k/2-1]})和B的第$k/2$个元素(即{B[k/2-1]})进行比较,有以下三种情况(为了简化这里先假设$k$为偶数,所得到的结论对于$k$是奇数也是成立的):

\item {A[k/2-1] == B[k/2-1]}
\item {A[k/2-1] > B[k/2-1]}
\item {A[k/2-1] < B[k/2-1]}

如果{A[k/2-1] < B[k/2-1]},意味着{A[0]}到{A[k/2-1}的肯定在$A \cup B$的top k元素的范围内,换句话说,{A[k/2-1}不可能大于$A \cup B$的第$k$大元素。留给读者证明。

因此,我们可以放心的删除A数组的这$k/2$个元素。同理,当{A[k/2-1] > B[k/2-1]}时,可以删除B数组的$k/2$个元素。

当{A[k/2-1] == B[k/2-1]}时,说明找到了第$k$大的元素,直接返回{A[k/2-1]}或{B[k/2-1]}即可。

因此,我们可以写一个递归函数。那么函数什么时候应该终止呢?

\item 当A或B是空时,直接返回{B[k-1]}或{A[k-1]};
\item 当{k=1}是,返回{min(A[0], B[0])};
\item 当{A[k/2-1] == B[k/2-1]}时,返回{A[k/2-1]}或{B[k/2-1]}

代码1

// LeetCode, Median of Two Sorted Arrays
// 时间复杂度O(log(m+n)),空间复杂度O(log(m+n))
class Solution {
public:
    double findMedianSortedArrays(int A[], int m, int B[], int n) {
        int total = m + n;
        if (total & 0x1)
            return find_kth(A, m, B, n, total / 2 + 1);
        else
            return (find_kth(A, m, B, n, total / 2)
                    + find_kth(A, m, B, n, total / 2 + 1)) / 2.0;
    }
private:
    static int find_kth(int A[], int m, int B[], int n, int k) {
        //always assume that m is equal or smaller than n
        if (m > n) return find_kth(B, n, A, m, k);
        if (m == 0) return B[k - 1];
        if (k == 1) return min(A[0], B[0]);

        //divide k into two parts
        int ia = min(k / 2, m), ib = k - ia;
        if (A[ia - 1] < B[ib - 1])
            return find_kth(A + ia, m - ia, B, n, k - ia);
        else if (A[ia - 1] > B[ib - 1])
            return find_kth(A, m, B + ib, n - ib, k - ib);
        else
            return A[ia - 1];
    }
};

  1. 您没有考虑 树的根节点是负数的情况, 若树的根节点是个很大的负数,那么就要考虑过不过另外一边子树了

  2. #include <stdio.h>
    int main()
    {
    int n,p,t[100]={1};
    for(int i=1;i<100;i++)
    t =i;
    while(scanf("%d",&n)&&n!=0){
    if(n==1)
    printf("Printing order for 1 pages:nSheet 1, front: Blank, 1n");
    else {
    if(n%4) p=n/4+1;
    else p=n/4;
    int q=4*p;
    printf("Printing order for %d pages:n",n);
    for(int i=0;i<p;i++){
    printf("Sheet %d, front: ",i+1);
    if(q>n) {printf("Blank, %dn",t[2*i+1]);}
    else {printf("%d, %dn",q,t[2*i+1]);}
    q–;//打印表前
    printf("Sheet %d, back : ",i+1);
    if(q>n) {printf("%d, Blankn",t[2*i+2]);}
    else {printf("%d, %dn",t[2*i+2],q);}
    q–;//打印表后
    }
    }
    }
    return 0;
    }