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2014
11-18

LeetCode-Unique Binary Search Trees[二叉树]

Unique Binary Search Trees

Given n, how many structurally unique BST’s (binary search trees) that store values 1…n?

For example,
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST’s.

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

标签: Tree Dynamic Programming
分析

如果把上例的顺序改一下,就可以看出规律了。
\begin{Code}
1 1 2 3 3
\ \ / \ / /
3 2 1 3 2 1
/ \ / \
2 3 1 2
\end{Code}

比如,以1为根的树的个数,等于左子树的个数乘以右子树的个数,左子树是0个元素的树,右子树是2个元素的树。以2为根的树的个数,等于左子树的个数乘以右子树的个数,左子树是1个元素的树,右子树也是1个元素的树。依此类推。

当数组为 $1,2,3,…,n$时,基于以下原则的构建的BST树具有唯一性:
\textbf{以i为根节点的树,其左子树由[1, i-1]构成, 其右子树由[i+1, n]构成。}

定义$f(i)$为以$[1,i]$能产生的Unique Binary Search Tree的数目,则

如果数组为空,毫无疑问,只有一种BST,即空树,$f(0)=1$。

如果数组仅有一个元素{1},只有一种BST,单个节点,$f(1)=1$。

如果数组有两个元素{1,2}, 那么有如下两种可能
\begin{Code}
1 2
\ /
2 1
\end{Code}

\begin{eqnarray}
f(2) &=& f(0) * f(1) \text{ ,1为根的情况} \nonumber \\
&+& f(1) * f(0) \text{ ,2为根的情况} \nonumber
\end{eqnarray}

再看一看3个元素的数组,可以发现BST的取值方式如下:
\begin{eqnarray}
f(3) &=& f(0) * f(2) \text{ ,1为根的情况} \nonumber \\
&+& f(1) * f(1) \text{ ,2为根的情况} \nonumber \\
&+& f(2) * f(0) \text{ ,3为根的情况} \nonumber
\end{eqnarray}

所以,由此观察,可以得出$f$的递推公式为
$$
f(i) = \sum_{k=1}^{i} f(k-1) \times f(i-k)
$$
至此,问题划归为一维动态规划。

代码1

// LeetCode, Unique Binary Search Trees
// 时间复杂度O(n^2),空间复杂度O(n)
class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        vector<int> f(n + 1, 0);

        f[0] = 1;
        f[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; ++i) {
            for (int k = 1; k <= i; ++k)
                f[i] += f[k-1] * f[i - k];
        }

        return f[n];
    }
};

Java代码:

public class Solution {
    public int numTrees(int n) {
        int dp[] = new int[n+1];
        dp[0] = dp[1] = 1;
        for(int i=2; i<=n; i++){
            for(int k=1; k<=i; k++){
                dp[i] += dp[k-1] * dp[i-k];
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

相关题目
Unique Binary Search Trees II


  1. 第二种想法,我想来好久,为啥需要一个newhead,发现是把最后一个节点一直返回到嘴上面这层函数。厉害,这道题之前没样子想过。

  2. 可以根据二叉排序树的定义进行严格的排序树创建和后序遍历操作。如果形成的排序树相同,其树的前、中、后序遍历是相同的,但在此处不能使用中序遍历,因为,中序遍历的结果就是排序的结果。经在九度测试,运行时间90ms,比楼主的要快。