兩個增函數相乘是增函數嗎、兩個增函數的乘積還是增函數嗎

反比例函數是我們初中學習的第二大函數，它的特征是兩變量的乘積是一個定值。由于兩變量的乘積是一個定值，所以兩個變量的大小變化是相反的，自變量在同一支曲線上取值時，自變量越大，函數值就越小，自變量越小，函數值越大，這可能為什么叫它反比例函數的原因吧。

反比例函數的圖象是兩支曲線，不同于一次函數的圖象是一條直線，由于兩支曲線放在一塊能夠完全重合，并且分居于兩個兩個相對的象限內，就象兩個雙胞胎姐妹相鄰而望，所以我們稱反比例函數是函數中的雙胞胎姐妹，屬于姊妹花。

下面我們看一下反比例函數的基礎知識吧。

一、定義：

二、圖象與畫法

畫法：

（1）由解析式確定x，y的對應值，在表格中列出；

（2）把對應的x，y值作為點坐標在平面直角坐標系描出；

（3）用平滑的曲線描出來

注意問題：

①x，y對應值對稱取值；

②取值要足夠的多；

③連線用平滑曲線，注意延伸。

圖象特征：

（1）反比例函數的圖象是兩支曲線，放在一起能夠完全重合，兩支曲線向兩方無限延伸接近坐標軸，但永遠不會和坐標軸相交；

（2）每一支曲線都是軸對稱圖形，對稱軸有一條，兩支曲線是軸對稱的位置關系，對稱軸有兩條；

三、圖象與性質

當k>0時，雙曲線在一三象限呈對稱分布，對稱軸為一三象限的角平分線和二四象限的角平分線，圖象從左向右看呈下降趨勢，在每個象限內（或每支曲線上或當x>0或x<0時）是減函數；

當k<0時，雙曲線在二四象限呈對稱分布，對稱軸為一三象限的角平分線和二四象限的角平分線，圖象從左向右看呈上升趨勢，在每個象限內（或每支曲線上或當x>0或x<0時）是增函數

把上面的性質歸納概括起來，用下面的表格表示更直觀。

四、k的意義

（1）代數意義：xy=k（k≠0）

兩變量的乘積為定值即在圖象上所有點坐標乘積相等

（2）幾何意義：面積與對稱

過雙曲線上一點分別向x軸和y軸作垂線段和坐標軸構成一個矩形，那么這個矩形的面積是|k|.根據點坐標的幾何意義，兩條垂線段的長分別是|x|和|y|，而矩形面積是長×寬也就是|x|·|y|，即|xy|=|k|.從這里可以看出，無論動點移動到曲線的哪個位置，矩形面積都是|k|.

如果過曲線的一動點作任意一個坐標軸的垂線段構成一個直角三角形，無論動點怎么運動，直角三角形的面積為定值|k|/2.

如果過雙曲線上一點作一坐標軸的垂線段，另外一個坐標軸上選一動點，無論點怎么運動，三角形的形狀怎么樣變化，三角形的面積還是|k|/2.

利用|k|的意義和對稱性確定四邊形和三角形的面積

五、與一次函數的關系

（1）正比例函數與雙線交點關于原點對稱，即交點的坐標互為相反數；

（2）直線和雙曲線相交時，交點坐標就是對應函數解析式組成的方程組的解，當方程組無解時便沒有交點；

（3）待定系數法

（1）利用方程確定反比例函數解析式，已知一個點的坐標；

（2）利用k的幾何意義確定k.

四、應用

（1）反比例函數在生活中的應用，如物理，工程，行程等；

（2）反比例函數與一次函數的綜合題目；

（3）比較反比例函數值的大小，注意同一支曲線。