首页 > 专题系列 > 算法分析 > 全排列生成算法-next_permutation-内部剖析
2014
01-13

全排列生成算法-next_permutation-内部剖析

概念

全排列的生成算法有很多种,有递归遍例,也有循环移位法等等。但C++/STL中定义的next_permutation和prev_permutation函数则是非常灵活且高效的一种方法,它被广泛的应用于为指定序列生成不同的排列。本文将详细的介绍prev_permutation函数的内部算法。

按照STL文档的描述,next_permutation函数将按字母表顺序生成给定序列的下一个较大的序列,直到整个序列为减序为止。prev_permutation函数与之相反,是生成给定序列的上一个较小的序列。二者原理相同,仅遍例顺序相反,这里仅以next_permutation为例介绍算法。

下文内容都基于一个假设,即序列中不存在相同元素。对序列大小的比较做出定义:两个长度相同的序列,从两者的第一个元素开始向后寻找,直到出现一个不同元素(也可能就是第它们的第一个元素),该元素较大的序列为大,反之序列为小;若一直到最后一个元素都相同,那么两个序列相等。

设当前序列为pn,下一个较大的序列为pn+1,这里蕴藏的含义是再也找不到另外的序列pm,使得pn < pm < pn+1

 

问题

给定任意非空序列,生成下一个较大或较小的序列。

 

数学推导

根据上述概念易知,对于一个任意序列,最小的序列是增序,最大的序列为减序。那么给定一个pn要如何才能生成pn+1呢?先来看下面的例子:

我们用<a1 a2 … am>来表示m个数的一种序列。设序列pn=<3 6 4 2>,根据定义可算得下一个序列pn+1=<4 2 3 6>。观察pn可以发现,其子序列<6 4 2>已经为减序,那么这个子序列不可能通过交换元素位置得出更大的序列了,因此必须移动最高位3(即a1)的位置,且要在子序列<6 4 2>中找一个数来取代3的位置。子序列<6 4 2>中6和4都比3大,但6大于4。如果用6去替换3得到的序列一定会大于4替换3得到的序列,因此只能选4。将4和3的位置对调后形成排列<4 6 3 2>。对调后得到的子序列<6 3 2>仍保持减序,即这3个数能够生成的最大的一种序列。而4是第1次作为首位的,需要右边的子序列最小,因此4右边的子序列应为<2 3 6>,这样就得到了正确的一个序列pn+1=<4 2 3 6>。

下面归纳分析该过程。假设一个有m个元素的序列pn,其下一个较大序列为pn+1

1) 若pn最右端的2个元素构成一个增序子序列,那么直接反转这2个元素使该子序列成为减序,即可得到pn+1

2) 若pn最右端一共有连续的s个元素构成一个减序子序列,令i = m – s,则有pn(i) < pn(i+1),其中pn(i)表示排列pn的第i个元素。例如pn=<1 2 5 4 3>,那么pn的右端最多有3个元素构成一个减序子集<5 4 3>,i=5-3=2,则有pn(i)=2 < 5=pn(i+1)。因此若将pn(i)和其右边的子集s {pn(i+1), pn(i+2), …, pn(m)}中任意一个元素调换必能得到一个较大的序列(不一定是下一个)。要保证是下一个较大的序列,必须保持pn(i)左边的元素不动,并在子集s {pn(i+1), pn(i+2), …, pn(m)}中找出所有比pn(i)大的元素中最小的一个pn(j),即不存在pn(k) ∈ s且pn(i) < pn(k) < pn(j),然后将二者调换位置。现在只要使新子集{pn(i+1), pn(i+2), …, pn(i), …,pn(m)}成为最小序列即得到pn+1。注意到新子集仍保持减序,那么此时直接将其反转即可得到pn+1 {pn(1), pn(2), …, pn(j), pn(m), pn(m-1), …, pn(i), …, pn(i+2), pn(i+1)}。

 

复杂度

最好的情况为pn的最右边的2个元素构成一个最小的增序子集,交换次数为1,复杂度为O(1),最差的情况为1个元素最小,而右面的所有元素构成减序子集,这样需要先将第1个元素换到最右,然后反转右面的所有元素。交换次数为1+(n-1)/2,复杂度为O(n)。因为各种排列等可能出现,所以平均复杂度即为O(n)。

 

扩展

1. 能否直接算出集合{1, 2, …, m}的第n个排列?

设某个集合{a1, a2, …, am}(a1<a2<…<am)构成的某种序列pn,基于以上分析易证得:若as<at,那么将as作为第1个元素的所有序列一定都小于at作为第1个元素的任意序列。同理可证得:第1个元素确定后,剩下的元素中若as’<at’,那么将as’作为第2个元素的所有序列一定都小于作为第2个元素的任意序列。例如4个数的集合{2, 3, 4, 6}构成的序列中,以3作为第1个元素的序列一定小于以4或6作为第1个元素的序列;3作为第1个元素的前题下,2作为第2个元素的序列一定小于以4或6作为第2个元素的序列。

推广可知,在确定前i(i<n)个元素后,在剩下的m-i=s个元素的集合{aq1, aq2, …, aq3}(aq1<aq2<…<aqm)中,以aqj作为第i+1个元素的序列一定小于以aqj+1作为第i+1个元素的序列。由此可知:在确定前i个元素后,一共可生成s!种连续大小的序列。

根据以上分析,对于给定的n(必有n<=m!)可以从第1位开始向右逐位地确定每一位元素。在第1位不变的前题下,后面m-1位一共可以生成(m-1)!中连续大小的序列。若n>(m-1)!,则第1位不会是a1,n中可以容纳x个(m-1)!即代表第1位是ax。在确定第1位后,将第1位从原集合中删除,得到新的集合{aq1, aq2, …, aq3}(aq1<aq2<…<aqm),然后令n1=n-x(m-1)!,求这m-1个数中生成的第n1个序列的第1位。

举例说明:如7个数的集合为{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7},要求出第n=1654个排列。

(1654 / 6!)取整得2,确定第1位为3,剩下的6个数{1, 2, 4, 5, 6, 7},求第1654 % 6!=214个序列;

(214 / 5!)取整得1,确定第2位为2,剩下5个数{1, 4, 5, 6, 7},求第214 % 5!=94个序列;

(94 / 4!)取整得3,确定第3位为6,剩下4个数{1, 4, 5, 7},求第94 % 4!=22个序列;

(22 / 3!)取整得3,确定第4位为7,剩下3个数{1, 4, 5},求第22 % 3!=4个序列;

(4 / 2!)得2,确定第5为5,剩下2个数{1, 4};由于4 % 2!=0,故第6位和第7位为增序<1 4>;

因此所有排列为:3267514。

 

2. 给定一种排列,如何算出这是第几个排列呢?

和前一个问题的推导过程相反。例如3267451:

后6位的全排列为6!,3为{1, 2, 3 ,4 , 5, 6, 7}中第2个元素(从0开始计数),故2*720=1440;

后5位的全排列为5!,2为{1, 2, 4, 5, 6, 7}中第1个元素,故1*5!=120;

后4位的全排列为4!,6为{1, 4, 5, 6, 7}中第3个元素,故3*4!=72;

后3位的全排列为3!,7为{1, 4, 5, 7}中第3个元素,故3*3!=18;

后2位的全排列为2!,5位{1, 4, 5}中第2个元素,故2*2!=4;

最后2位为增序,因此计数0,求和得:1440+120+72+18+4=1654

 

C++/STL实现

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;
//主函数,算法详见相关说明
int main(void) {
	//循环处理输入的每一个字符串
	for (string str; cin >> str;) {
		if (str.empty()) {
			continue;
		}
		//如果字符串只有1个字符,则直接输出结束
		if (str.length() <= 1) {
			cout << "No more Permutation" << endl;
		}
		//iPivot为右边最大减序子集左边相邻的一个元素
		string::iterator iPivot = str.end(), iNewHead;
		//查找右边最大的减序子集
		for (--iPivot; iPivot != str.begin(); --iPivot) {
			if (*(iPivot - 1) <= *iPivot ) {
				break;
			}
		}
		//如果整个序列都为减序,则重排结束。
		if (iPivot == str.begin()) {
			cout << "No more Permutation" << endl;
		}
		//iPivot指向子集左边相邻的一个元素
		iPivot--;
		//iNewHead为仅比iPivot大的元素,在右侧减序子集中寻找
		for (iNewHead = iPivot + 1; iNewHead != str.end(); ++iNewHead) {
			if (*iNewHead < *iPivot) {
				break;
			}
		}
		//交换iPivot和iNewHead的值,但不改变它们的指向
		iter_swap(iPivot, --iNewHead);
		//反转右侧减序子集,使之成为最小的增序子集
		reverse(iPivot + 1, str.end());
		//本轮重排完成,输出结果
		cout << str << endl;
	}
	return 0;
}

转自:http://www.cnblogs.com/devymex/archive/2010/08/17/1801122.html


  1. 第二个方法挺不错。NewHead代表新的头节点,通过递归找到最后一个节点之后,就把这个节点赋给NewHead,然后一直返回返回,中途这个值是没有变化的,一边返回一边把相应的指针方向颠倒,最后结束时返回新的头节点到主函数。

  2. 第二个方法挺不错。NewHead代表新的头节点,通过递归找到最后一个节点之后,就把这个节点赋给NewHead,然后一直返回返回,中途这个值是没有变化的,一边返回一边把相应的指针方向颠倒,最后结束时返回新的头节点到主函数。